微分求积法（Differential Quadrature）学习笔记

1.DQ方法的基本原理¹

微分求积法(DQ)是Bellman和他的同事在70年代初提出的。DQ方法是求导数近似的一种数值离散化方法，起源于传统积分求积的思想。

1.1 积分求积

一般地，积分${\int }_a^{b}f(x)dx$$\int_a^bf(x)dx$可以近似为：

其中$w_1,w_2,\dots ,w_n$$w_1,w_2,\dots,w_n$为权值系数，$f_1,f_2,\dots ,f_n$$f_1,f_2,\dots,f_n$为函数在离散点$a=x_1,x_2,\dots ,x_n=b$$a=x_1,x_2,\dots,x_n = b$处的值。方程$(\text{1.1})$$(\ref{1.1})$称为积分求积，它使用整个积分域中的所有函数值来近似一个有限积分上的积分。

1.2 微分求积

函数$f(x)$$f (x)$对 $x$$x$在网格点$x_i$$x_i$处的一阶导数可以近似为整个域中所有函数值的线性和：

其中$a_{ij}$$a_{ij}$ 表示加权系数，$N$$N$表示整个域中的网格点数。方程$(\text{1.2})$$(\ref{1.2})$称为微分求积(DQ).

2.基于多项式的微分求积法(PDQ)

在DQ近似中，如何确定加权系数很多工作都是基于多项式逼近的，因此相关的方法可以被称为基于多项式的微分求积法(PDQ)。

2.1 一阶导数加权系数的计算

Bellman 等人假定函数$f(x)$$f (x)$在区间$[a,b]$$[ a,b ]$上足够光滑，因此它在任何网格点上的一阶导数 $f^{(1)}(x)$$f^{ (1)}(x)$可以用下面的公式来近似：

方程$(\text{2.1})$$(\ref{2.1})$中加权系数$a_{ij}$$a_{ij}$的确定是DQ近似的关键步骤。下面是一些方法

2.1.1 Bellman方法²

• 第一个方法. 使用测试函数如下：

显然有$N$$N$个测试函数，那么需要N个网格点$x_1,x_2,\dots ,x_N$$x_1,x_2,\dots,x_N$,可以得到关于$a_{ij}$$a_{ij}$的$N\times N$$N \times N$个线性代数方程如下：

由$k=0,k=1,k=2,3,\dots ,N-1$$\color{green} k=0,k=1,k=2,3, \ldots, N-1$分别代入得到。

方程组2.3有唯一解，因为它的矩阵是范德蒙形式：

但是，当$n$$n$很大的时候，矩阵是病态的，求解它的逆是困难的。在这种方法的实际应用中，通常选择$n<13$$\color{orchid}n<13$。

• 第二个方法. 与第一种方法类似，但是使用不同的测试函数，为：

  $$\begin{array}{}\text{(2.4)}& g_k(x)=\frac{L_N(x)}{(x-x_k)\cdot L_N^{(1)}(x_k)},k=1,2,\dots ,N\end{array}$$

  其中$L_N(x)$$L_N(x)$为$N$$N$次Legendre多项式，$L_N^{(1)}$$L_N^{(1)}$为其一阶导数。这里需选择$x_k$$x_k$为shifted Legendre多项式的根.在$N$$N$个网格点上应用$(\text{2.4})$$(\ref{2.4})$得到关于$a_{ij}$$a_{ij}$的代数公式

  $$\begin{array}{}\text{(2.5a)}& a_{ij}=\frac{L_N^{(1)}\left(x_i\right)}{(x_i-x_j)L_N^{(1)}\left(x_j\right)},\text{ for }j\ne i\end{array}$$
  $$\begin{array}{}\text{(2.5b)}& a_{ii}=\frac{1-2x_i}{2x_i(x_i-1)}\end{array}$$

  由$(\text{2.4})$$\color{green}{(\ref{2.4})}$可以得到，$g_k(x_j)={\delta }_{kj}$$\color{green}g_k(x_j)=\delta_{kj}$,那么$k\ne i$$\color{green}k \neq i$时：

 $k=i$$\color{green}k = i$时，根据L‘Hospital规则以及$P_N(x)$$\color{green}P_N(x)$满足的条件

得到：

这种方法不像第一种方法那样灵活，因为这种方法中网格点的坐标不能任意选择，所以在实际应用中通常采用第一种方法。

2.1.2 Quan and Chang’s 方法³

Quan and Chang用下面的拉格朗日插值多项式作为检验函数：

其中:

随后，通过在$N$$N$个网格点上应用方程$(\text{2.6})$$(\ref{2.6})$，得到了以下计算加权系数$a_{ij}$$a_{ij}$的代数公式：

显然可以得到$g_k(x_j)={\delta }_{jk}$$g_k(x_j)=\delta_{jk}$

当$i\ne j$$\color{green} i \neq j$时

当$i=j$$\color{green} i =j$ 时

另一种方法(也就是下面的$(\text{???})$$(\ref{2.10c})$)：令$M(x)=N(x,x_k)\cdot (x-x_k),k=1,2,\dots ,N$$M(x)=N(x,x_k)\cdot (x-x_k),k=1,2,\dots,N$，这里$N(x_i,x_j)=M^{(1)}(x_i)\cdot {\delta }_{ij}$$N(x_i,x_j)=M^{(1)}(x_i)\cdot \delta_{ij}$.得到：

又有

2.1.3 Shu’s Approach⁴

偏微分方程的解可以用高次多项式精确逼近。现在。我们假设逼近多项式的次数是$N-1$$N-1$，这个近似多项式通过向量加法和标量乘法运算构成了一个$N$$N$维线性向量空间，可以用不同的形式表达。基多项式的四个典型集如下:

其中$L_N(x)$$L_N(x)$是N次的Legendre多项式，$m(x)$$m (x)$在方程$(\text{2.7})$$(\ref{2.7})$中定义。在四组基多项式中。方程$(\text{2.11b})$$(\ref{2.11b})$ 和$(\text{2.11c})$$(\ref{2.11c})$ 来自拉格朗日插值多项式，方程$(\text{2.11d})$$(\ref{2.11d})$ 来自牛顿插值多项式。方程$(\text{2.11b})$$(\ref{2.11b})$ 和$(\text{2.11c})$$(\ref{2.11c})$ 的区别在于网格点的分布。方程$(\text{2.11b})$$(\ref{2.11b})$是方程$(\text{2.11c})$$(\ref{2.11c})$的一个特例，因为它只在Legendre配点处有效。

此外，根据线性向量空间的性质，如果一组基多项式满足一个线性算子，那么另一组基多项式也满足。因此 $a_{ij}$$a_{ij}$满足以下方程，这个方程是由基多项式$x_{k-1}$$x_{k-1}$在$k=1$$k= 1$时得到的：

2.2 二阶导数加权系数的计算

对于二阶导数的离散化，引入了一个类似的近似形式：

2.2.1 Quan and Chang’s 方法

2.2.2 Shu‘s 方法

由$a_{ij}，a_{ii}$$a_{ij}，a_{ii}$的定义可得：

同样，也可以根据基函数为$x^{k-1}$$x^{k-1}$时的定义得到：

2.3 Shu’s方法关于高阶导数的递推公式

其中$i=1,2,\dots ,N;m=2,3,\dots ,N-1$$i=1,2, \ldots, N ; m=2,3, \ldots, N-1$。同样，我们可以得到：

所以得到：

通过$(\text{2.10})$$(\ref{2.10})$，得到:

所以：

从而有：

同样，$i=j$$i=j$时的权值系数如下：

3.广义积分求积法(GIQ)

广义积分求积(GIQ)是在与PDQ相同的概念下发展起来的。如果一个函数在整个区域内是光滑的，那么它可以用一个涉及整个区域内所有函数值的高次多项式来逼近。然后，通过对近似多项式进行积分，可以计算出函数在整个区域的一部分上的积分。因此，这种近似包含了整个区域中的所有函数值，而且精度很高，即使积分区域只包含两个点。显然，该方法的关键步骤是确定权重系数。下面将说明，GIQ的加权系数可以很容易地从PDQ中的一阶导数的加权系数中得到。

3.1 1维广义积分求积

假设$f(x)$$f(x)$在整个区域$[a,b]$$[a,b]$上是连续的，且可以分解为$N-1$$N-1$个区间，其网格点为$a=x_1,x_2,\dots ,x_N=b$$a=x_1,x_2,\dots,x_N=b$.由于$f(x)$$f(x)$在整个区域上是连续的，所以它可以用一个($N-1$$N-1$)次多项式来逼近.特别地，当N个网格点的函数值已知时，$f(x)$$f(x)$可以用与所有网格点的函数值相关的拉格朗日插值多项式来逼近。因此，该逼近多项式在$[x_i,x_j]$$[x_i,x_j]$上的积分可能涉及整环以外的函数值。作为一般情况，假设整个域的一部分上的$f(x)$$f(x)$的积分由整个域中的所有函数值与形式的线性组合来近似：

与PDQ中的分析类似，作为$f(x)$$f(x)$的近似的($N-1$$N-1$)次多项式构成了N维线性向量空间。因此，如果所有的基多项式都满足等式$(\text{3.1})$$(\ref{3.1})$，那么空间中的任何多项式都满足。考虑拉格朗日插值多项式$r_k(x),k=1,2,\dots ,N$$r_k(x),k=1,2,\dots,N$作为基函数，那么

直接计算$c_k^{ij}$$c_k^{ij}$的表达是困难的，所以采用如下方法：

我们可以清楚地看到，如果$f(x)$$f(x)$是($N-1$$N-1$)次多项式，则$u(x)$$u(x)$应该是$N$$N$次多项式。假设$f(x)$$f(x)$由以下形式的($N-1$$N-1$)次多项式逼近：

其中$a_0,a_1,a_{N-1}$$a_0,a_1,a_{N-1}$为常数，对$(\text{3.4})$$(\ref{3.4})$从常数c到变量$x$$x$作积分有：

其中

显然，$F(x,c)$$F(x,c)$取决于$N$$N$个常数。证明了$F(x,c)$$F(x,c)$构成$N$$N$维线性多项式向量空间。它的一组基多项式可选为:

相似于PDQ，可以得到：

将$(\text{3.6})$$(\ref{3.6})$代入$(\text{3.7})$$(\ref{3.7})$中得到：

从公式$(\text{3.8a})-(\text{3.8b})$$(\ref{3.8a})-(\ref{3.8b})$中可以看出，不能选择c作为网格点的坐标，从公式10.6可以看出，当c=x时，积分区域为零。因此，不必近似$c=x$$c=x$的积分。另一方面，公式$(\text{3.8a})-(\text{3.8b})$$(\ref{3.8a})-(\ref{3.8b})$可以写成向量形式:

其中

将$(\text{3.4})$$(\ref{3.4})$和$(\text{3.6})$$(\ref{3.6})$插入$(\text{3.9})$$(\ref{3.9})$中，令

可以得到：

令$[W^I]=[\underset{―}{A}{]}^{-1}$$[W^I]=[\underline{A}]^{-1}$，则有$\{f^I\}=W^I\{f\}$$\{f^I\}=W^I \{f\}$，进一步：

那么就得到

很明显GIQ中的权重系数是由PDQ中的一阶导数离散化得到的。

参考文献

[1] Shu, Chang. Differential Quadrature and Its Application in Engineering[J]

[2] Bellman R, Kashef BG, Casti J. Differential Quadrature and Its Application in Engineering[J]

[3] Quan JR, Chang CT. New insights in solving distributed system equations by the quadrature method—I. Analysis[J]

[4] Shu C, Chew YT, Richards BE. Generalized differential and integral quadrature and their application to solve boundary layer equations[J]